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integral of (xe^x)/((e^x+1)^2)

Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x

Lösung

- \frac{x}{e ^{x} + 1} + x - ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{ln ( u )}{( u + 1 ) ^{2}} d u

Wende die partielle Integration an

= - \frac{ln ( u )}{u + 1} - \int - \frac{1}{u ( u + 1 )} d u

\int - \frac{1}{u ( u + 1 )} d u = - ln ∣ u ∣ + ln ∣ u + 1 ∣

= - \frac{ln ( u )}{u + 1} - (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = e^{x}

ein

= - \frac{ln ( e ^{x} )}{e ^{x} + 1} - (- ln ∣ e^{x} ∣ + ln ∣ e^{x} + 1 ∣)

Vereinfache

- \frac{ln ( e ^{x} )}{e ^{x} + 1} - (- ln ∣ e^{x} ∣ + ln ∣ e^{x} + 1 ∣) : - \frac{x}{e ^{x} + 1} + x - ln ∣ e^{x} + 1 ∣

= - \frac{x}{e ^{x} + 1} + x - ln ∣ e^{x} + 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{x}{e ^{x} + 1} + x - ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

Graph

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