integral of 1/(x^4sqrt(x^2+1))

Lösung

\int \frac{1}{x ^{4} x ^{2} + 1} d x

- \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + \frac{1 + x ^{2}}{x} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{4} x ^{2} + 1} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cot^{4} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{( 1 - sin ^{2} ( u ) ) cos ( u )}{sin ^{4} ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1 - v ^{2}}{v ^{4}} d v

Multipliziere aus

\frac{1 - v ^{2}}{v ^{4}} : \frac{1}{v ^{4}} - \frac{1}{v ^{2}}

= \int \frac{1}{v ^{4}} - \frac{1}{v ^{2}} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{v ^{4}} d v - \int \frac{1}{v ^{2}} d v

\int \frac{1}{v ^{4}} d v = - \frac{1}{3 v ^{3}}

\int \frac{1}{v ^{2}} d v = - \frac{1}{v}

= - \frac{1}{3 v ^{3}} - (- \frac{1}{v})

Ersetze zurück

= - \frac{1}{3 sin ^{3} ( arctan ( x ) )} - (- \frac{1}{sin ( arctan ( x ) )})

Vereinfache

- \frac{1}{3 sin ^{3} ( arctan ( x ) )} - (- \frac{1}{sin ( arctan ( x ) )}) : - \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + \frac{1 + x ^{2}}{x}

= - \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + \frac{1 + x ^{2}}{x}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{( 1 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{3 x ^{3}} + \frac{1 + x ^{2}}{x} + C

\int (2 x + 1)^{10} d x

\int \frac{x + 2}{2 x + 1} d x

\int sin (x) cos (x) e^{s i n^{2} (x) + π} d x

\int 6 x^{- 2} d x

\int \frac{( e ^{x} + 2 ) e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x