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integral of sqrt(y^2-49)

解

\int y^{2} - 49 d y

解

49 \frac{1}{98} y y^{2} - 49 - \frac{1}{2} ln \frac{y + y ^{2} - 49}{7} + C

解答ステップ

\int y^{2} - 49 d y

三角関数による置換を適用する

= \int 49 tan^{2} (u) sec (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 49 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= 49 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

拡張

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 49 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 49 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 49 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

代用を戻す

u = arcsec (\frac{1}{7} y)

= 49 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{7} y)) + sec (arcsec (\frac{1}{7} y)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{7} y)) tan (arcsec (\frac{1}{7} y)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{7} y)) + sec (arcsec (\frac{1}{7} y)))

簡素化

49 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{7} y)) + sec (arcsec (\frac{1}{7} y)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{7} y)) tan (arcsec (\frac{1}{7} y)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{7} y)) + sec (arcsec (\frac{1}{7} y))) : 49 \frac{1}{98} y y^{2} - 49 - \frac{1}{2} ln \frac{y + y ^{2} - 49}{7}

= 49 \frac{1}{98} y y^{2} - 49 - \frac{1}{2} ln \frac{y + y ^{2} - 49}{7}

定数を解答に追加する

= 49 \frac{1}{98} y y^{2} - 49 - \frac{1}{2} ln \frac{y + y ^{2} - 49}{7} + C

グラフ

人気の例

integral of (e^x)/(e^x-e^{-x)}

\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} - e ^{- x}} d x

integral of (sqrt(x)+1/(x^3)-3e^{3x})

\int (x + \frac{1}{x ^{3}} - 3 e^{3 x}) d x

integral of 1/((xsqrt(x^2-1)))

\int \frac{1}{( x x ^{2} - 1 )} d x

integral of (5-4x)cos(6-5x)

\int (5 - 4 x) cos (6 - 5 x) d x

integral of 7x^2e^{x^3}

\int 7 x^{2} e^{x^{3}} d x