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人気のある微分積分 >

integral of 1/(x+sqrt(a^2-x^2))

解

\int \frac{1}{x + a ^{2} - x ^{2}} d x

解

\frac{1}{2} arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} ln (\frac{x + a ^{2} - x ^{2}}{∣ a ∣}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x + a ^{2} - x ^{2}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{cos ( u )}{sin ( u ) + cos ( u )} d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} + \frac{cos ( u ) - sin ( u )}{2 ( sin ( u ) + cos ( u ) )} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{2} d u + \int \frac{cos ( u ) - sin ( u )}{2 ( sin ( u ) + cos ( u ) )} d u

\int \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} u

\int \frac{cos ( u ) - sin ( u )}{2 ( sin ( u ) + cos ( u ) )} d u = \frac{1}{2} ln ∣ sin (u) + cos (u) ∣

= \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} ln ∣ sin (u) + cos (u) ∣

代用を戻す

u = arcsin (\frac{1}{a} x)

= \frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{a} x) + \frac{1}{2} ln sin (arcsin (\frac{1}{a} x)) + cos (arcsin (\frac{1}{a} x))

簡素化

\frac{1}{2} arcsin (\frac{1}{a} x) + \frac{1}{2} ln sin (arcsin (\frac{1}{a} x)) + cos (arcsin (\frac{1}{a} x)) : \frac{1}{2} arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} ln (\frac{x + a ^{2} - x ^{2}}{∣ a ∣})

= \frac{1}{2} arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} ln (\frac{x + a ^{2} - x ^{2}}{∣ a ∣})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} ln (\frac{x + a ^{2} - x ^{2}}{∣ a ∣}) + C

グラフ

人気の例

integral of (x^2)/((1-x)^{2021)}

\int \frac{x ^{2}}{( 1 - x ) ^{2021}} d x

integral of (2x^2-2x-1)/(x^3+x^2)

\int \frac{2 x ^{2} - 2 x - 1}{x ^{3} + x ^{2}} d x

integral of (x^2+2x-1)/((x+1)(x-3))

\int \frac{x ^{2} + 2 x - 1}{( x + 1 ) ( x - 3 )} d x

integral of (6x-5)/(sqrt(x^2-10x+9))

\int \frac{6 x - 5}{x ^{2} - 10 x + 9} d x

integral of (x^2+11x-30)/(x^3-5x^2+6x)

\int \frac{x ^{2} + 11 x - 30}{x ^{3} - 5 x ^{2} + 6 x} d x