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integral of 1/((1+t^2)^2)

解

\int \frac{1}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}} d t

解

\frac{1}{2} (arctan (t) + \frac{t}{1 + t ^{2}}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( 1 + t ^{2} ) ^{2}} d t

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

代用を戻す

u = arctan (t)

= \frac{1}{2} (arctan (t) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (t)))

簡素化

\frac{1}{2} (arctan (t) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (t))) : \frac{1}{2} (arctan (t) + \frac{t}{1 + t ^{2}})

= \frac{1}{2} (arctan (t) + \frac{t}{1 + t ^{2}})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (arctan (t) + \frac{t}{1 + t ^{2}}) + C

グラフ

人気の例

integral of sec(9x)tan(9x)

\int sec (9 x) tan (9 x) d x

integral of (6x^2+3x-44)/(x^2+x-6)

\int \frac{6 x ^{2} + 3 x - 44}{x ^{2} + x - 6} d x

integral of sec^{13}(x)tan(x)

\int sec^{13} (x) tan (x) d x

integral of xcot(x^2+1)

\int x cot (x^{2} + 1) d x

integral of cos(θ)sin^3(θ)

\int cos (θ) sin^{3} (θ) d θ