integral of (3x-5x^2)/((3x-1)(x-1)^2)

解

\int \frac{3 x - 5 x ^{2}}{( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} d x

\frac{1}{3} ln ∣ 3 x - 1 ∣ - 2 ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{x - 1} + C

解答ステップ

\int \frac{3 x - 5 x ^{2}}{( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{3 x - 5 x ^{2}}{( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) ^{2}} : \frac{1}{3 x - 1} - \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

= \int \frac{1}{3 x - 1} - \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{3 x - 1} d x - \int \frac{2}{x - 1} d x - \int \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{3 x - 1} d x = \frac{1}{3} ln ∣ 3 x - 1 ∣

\int \frac{2}{x - 1} d x = 2 ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} d x = - \frac{1}{x - 1}

= \frac{1}{3} ln ∣ 3 x - 1 ∣ - 2 ln ∣ x - 1 ∣ - (- \frac{1}{x - 1})

簡素化

= \frac{1}{3} ln ∣ 3 x - 1 ∣ - 2 ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{x - 1}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} ln ∣ 3 x - 1 ∣ - 2 ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{x - 1} + C