integral of cos^5(3x)sin^2(3x)

Lösung

\int cos^{5} (3 x) sin^{2} (3 x) d x

\frac{1}{3} (\frac{sin ^{3} ( 3 x )}{3} - \frac{2 sin ^{5} ( 3 x )}{5} + \frac{sin ^{7} ( 3 x )}{7}) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{5} (3 x) sin^{2} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int cos^{5} (u) sin^{2} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int cos^{5} (u) sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 - sin^{2} (u))^{2} cos (u) sin^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int v^{2} (1 - v^{2})^{2} d v

Multipliziere aus

v^{2} (1 - v^{2})^{2} : v^{2} - 2 v^{4} + v^{6}

= \frac{1}{3} \cdot \int v^{2} - 2 v^{4} + v^{6} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (\int v^{2} d v - \int 2 v^{4} d v + \int v^{6} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int 2 v^{4} d v = \frac{2 v ^{5}}{5}

\int v^{6} d v = \frac{v ^{7}}{7}

= \frac{1}{3} (\frac{v ^{3}}{3} - \frac{2 v ^{5}}{5} + \frac{v ^{7}}{7})

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} (\frac{sin ^{3} ( 3 x )}{3} - \frac{2 sin ^{5} ( 3 x )}{5} + \frac{sin ^{7} ( 3 x )}{7})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (\frac{sin ^{3} ( 3 x )}{3} - \frac{2 sin ^{5} ( 3 x )}{5} + \frac{sin ^{7} ( 3 x )}{7}) + C

\int \frac{x}{( 7 x + 1 ) ^{17}} d x

\int (2 cos (x) + sec^{2} (x)) d x

\int \frac{x ^{4} + 1}{x ^{2}} d x

\int \frac{x - 1}{1 + 2 x - x ^{2}} d x

\int ∣ 2 x - 5 ∣ d x