integral of sin^3(x/2)cos^7(x/2)

Lösung

\int sin^{3} (\frac{x}{2}) cos^{7} (\frac{x}{2}) d x

2 (- \frac{cos ^{8} ( \frac{x}{2} )}{8} + \frac{cos ^{10} ( \frac{x}{2} )}{10}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{3} (\frac{x}{2}) cos^{7} (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{3} (u) cos^{7} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin^{3} (u) cos^{7} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) cos^{7} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int - v^{7} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

- v^{7} (1 - v^{2}) : - v^{7} + v^{9}

= 2 \cdot \int - v^{7} + v^{9} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int v^{7} d v + \int v^{9} d v)

\int v^{7} d v = \frac{v ^{8}}{8}

\int v^{9} d v = \frac{v ^{10}}{10}

= 2 (- \frac{v ^{8}}{8} + \frac{v ^{10}}{10})

Ersetze zurück

= 2 (- \frac{cos ^{8} ( \frac{x}{2} )}{8} + \frac{cos ^{10} ( \frac{x}{2} )}{10})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{cos ^{8} ( \frac{x}{2} )}{8} + \frac{cos ^{10} ( \frac{x}{2} )}{10}) + C

\int \frac{x}{2} (e^{x} - e^{- x}) d x

\int sec^{15} (x) tan (x) d x

\int x^{3} (x^{2} + 1)^{14} d x

\int \frac{3}{2 x ^{2} + 50} d x

\int \frac{10}{3 x} d x