integral de 6sin^3(x)cos^5(x)

Solución

\int 6 sin^{3} (x) cos^{5} (x) d x

- cos^{6} (x) + \frac{3}{4} cos^{8} (x) + C

Pasos de solución

\int 6 sin^{3} (x) cos^{5} (x) d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \int sin^{3} (x) cos^{5} (x) d x

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= 6 \cdot \int (1 - cos^{2} (x)) sin (x) cos^{5} (x) d x

Aplicar integración por sustitución

= 6 \cdot \int - u^{5} (1 - u^{2}) d u

Expandir

- u^{5} (1 - u^{2}) : - u^{5} + u^{7}

= 6 \cdot \int - u^{5} + u^{7} d u

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 6 (- \int u^{5} d u + \int u^{7} d u)

\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6}

\int u^{7} d u = \frac{u ^{8}}{8}

= 6 (- \frac{u ^{6}}{6} + \frac{u ^{8}}{8})

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

= 6 (- \frac{cos ^{6} ( x )}{6} + \frac{cos ^{8} ( x )}{8})

Simplificar

6 (- \frac{cos ^{6} ( x )}{6} + \frac{cos ^{8} ( x )}{8}) : - cos^{6} (x) + \frac{3}{4} cos^{8} (x)

= - cos^{6} (x) + \frac{3}{4} cos^{8} (x)

Agregar una constante a la solución

= - cos^{6} (x) + \frac{3}{4} cos^{8} (x) + C