integral de 1/(e^{2x)-4e^x+4}

Solución

\int \frac{1}{e ^{2 x} - 4 e ^{x} + 4} d x

\frac{x}{4} - \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{2 ( e ^{x} - 2 )} + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{e ^{2 x} - 4 e ^{x} + 4} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{u ( u ^{2} - 4 u + 4 )} d u

= \int \frac{1}{u ( u ^{2} - 4 u + 4 )} d u

Completar el cuadrado

u^{2} - 4 u + 4 : (u - 2)^{2}

= \int \frac{1}{u ( u - 2 ) ^{2}} d u

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{( v + 2 ) v ^{2}} d v

= \int \frac{1}{( v + 2 ) v ^{2}} d v

Tomar la fracción parcial de

\frac{1}{( v + 2 ) v ^{2}} : \frac{1}{4 ( v + 2 )} - \frac{1}{4 v} + \frac{1}{2 v ^{2}}

= \int \frac{1}{4 ( v + 2 )} - \frac{1}{4 v} + \frac{1}{2 v ^{2}} d v

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{4 ( v + 2 )} d v - \int \frac{1}{4 v} d v + \int \frac{1}{2 v ^{2}} d v

\int \frac{1}{4 ( v + 2 )} d v = \frac{1}{4} ln ∣ v + 2 ∣

\int \frac{1}{4 v} d v = \frac{1}{4} ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{2 v ^{2}} d v = - \frac{1}{2 v}

= \frac{1}{4} ln ∣ v + 2 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ v ∣ - \frac{1}{2 v}

Sustitución hacia atrás

= \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 2 + 2 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{2 ( e ^{x} - 2 )}

\frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 2 + 2 ∣ = \frac{x}{4}

= \frac{x}{4} - \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{2 ( e ^{x} - 2 )}

Agregar una constante a la solución

= \frac{x}{4} - \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 2 ∣ - \frac{1}{2 ( e ^{x} - 2 )} + C

\int 9 x x^{2} + 6 d x

\int x^{\frac{1}{4}} + 7 d x

\int \frac{2}{x} + 5 csc^{2} (x) + x d x

\int \frac{2 x + 3}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x + 6} d x