integral of e^x(5-x)^3

解

\int e^{x} (5 - x)^{3} d x

- e^{x} x^{3} + 18 e^{x} x^{2} - 111 e^{x} x + 236 e^{x} + C

解答ステップ

\int e^{x} (5 - x)^{3} d x

拡張

e^{x} (5 - x)^{3} : 125 e^{x} - 75 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - e^{x} x^{3}

= \int 125 e^{x} - 75 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - e^{x} x^{3} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 125 e^{x} d x - \int 75 e^{x} x d x + \int 15 e^{x} x^{2} d x - \int e^{x} x^{3} d x

\int 125 e^{x} d x = 125 e^{x}

\int 75 e^{x} x d x = 75 (e^{x} x - e^{x})

\int 15 e^{x} x^{2} d x = 15 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))

\int e^{x} x^{3} d x = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))

= 125 e^{x} - 75 (e^{x} x - e^{x}) + 15 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})))

簡素化

125 e^{x} - 75 (e^{x} x - e^{x}) + 15 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})) - (x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))) : - e^{x} x^{3} + 18 e^{x} x^{2} - 111 e^{x} x + 236 e^{x}

= - e^{x} x^{3} + 18 e^{x} x^{2} - 111 e^{x} x + 236 e^{x}

定数を解答に追加する

= - e^{x} x^{3} + 18 e^{x} x^{2} - 111 e^{x} x + 236 e^{x} + C