integral of ((1-2x)^2)/((2x)^{1/2)}

解

\int \frac{( 1 - 2 x ) ^{2}}{( 2 x ) ^{\frac{1}{2}}} d x

2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{4 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{5} x^{\frac{5}{2}} + C

解答ステップ

\int \frac{( 1 - 2 x ) ^{2}}{( 2 x ) ^{\frac{1}{2}}} d x

拡張

\frac{( 1 - 2 x ) ^{2}}{( 2 x ) ^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} x ^{\frac{1}{2}}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}

= \int \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} x ^{\frac{1}{2}}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} x ^{\frac{1}{2}}} d x - \int 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x

\int \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} x ^{\frac{1}{2}}} d x = 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}

\int 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{4 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{3} x^{\frac{3}{2}}

\int 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{4 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{5} x^{\frac{5}{2}}

= 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{4 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{5} x^{\frac{5}{2}}

定数を解答に追加する

= 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{4 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}}{5} x^{\frac{5}{2}} + C