integral of cos^5(4x)

Lösung

\int cos^{5} (4 x) d x

\frac{1}{4} (sin (4 x) - \frac{2 sin ^{3} ( 4 x )}{3} + \frac{sin ^{5} ( 4 x )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{5} (4 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int cos^{5} (u) \frac{1}{4} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int cos^{5} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{4} \cdot \int (1 - sin^{2} (u))^{2} cos (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{4} \cdot \int (1 - v^{2})^{2} d v

Multipliziere aus

(1 - v^{2})^{2} : 1 - 2 v^{2} + v^{4}

= \frac{1}{4} \cdot \int 1 - 2 v^{2} + v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{4} (\int 1 d v - \int 2 v^{2} d v + \int v^{4} d v)

\int 1 d v = v

\int 2 v^{2} d v = \frac{2 v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= \frac{1}{4} (v - \frac{2 v ^{3}}{3} + \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= \frac{1}{4} (sin (4 x) - \frac{2 sin ^{3} ( 4 x )}{3} + \frac{sin ^{5} ( 4 x )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} (sin (4 x) - \frac{2 sin ^{3} ( 4 x )}{3} + \frac{sin ^{5} ( 4 x )}{5}) + C

\int e^{2 x} e^{x} + 1 d x

\int 4 + tan^{2} (x) d x

\int 3 e^{6 x} d x

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 5} d x

\int \frac{2 x}{3 x ^{2} + 2} d x