integral of e^{-(y^2)/2}

解

\int e^{- \frac{y ^{2}}{2}} d y

(\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{y}{2}) + C

解答ステップ

\int e^{- \frac{y ^{2}}{2}} d y

指数の規則を適用する:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{y ^{2}}{2} = (\frac{y}{2})^{2}

= \int e^{- (\frac{y}{2})^{2}} d y

u置換積分法を適用する

= \int e^{- u^{2}} 2 d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- u^{2}} d u

非初等積分を使用する:

\int e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2} erf (u)

= 2 \frac{π}{2} erf (u)

代用を戻す

u = \frac{y}{2}

= 2 \frac{π}{2} erf (\frac{y}{2})

簡素化

2 \frac{π}{2} erf (\frac{y}{2}) : (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{y}{2})

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{y}{2})

定数を解答に追加する

= (\frac{π}{2})^{\frac{1}{2}} erf (\frac{y}{2}) + C