integral of (e^x)/(sqrt(e^{2x)+e^x+1)}

Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + e ^{x} + 1} d x

ln \frac{2}{3} e^{x} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 e^{x} + 4 e^{2 x} + 4) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + e ^{x} + 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} + u + 1} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + u + 1 : (u + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( u + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{4 v ^{2} + 3} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} + 3} d v

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int \frac{sec ( w )}{2} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sec (w) d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (w) d w = ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{2}{3} (e^{x} + \frac{1}{2}))) + sec (arctan (\frac{2}{3} (e^{x} + \frac{1}{2})))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{2}{3} (e^{x} + \frac{1}{2}))) + sec (arctan (\frac{2}{3} (e^{x} + \frac{1}{2}))) : ln \frac{2}{3} e^{x} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 e^{x} + 4 e^{2 x} + 4)

= ln \frac{2}{3} e^{x} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 e^{x} + 4 e^{2 x} + 4)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln \frac{2}{3} e^{x} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (4 e^{x} + 4 e^{2 x} + 4) + C

\int (6 sinh (x) + x^{4}) d x

\int \frac{1}{x ^{2 + 1}} d x

\int \frac{1}{3 x + 2 + 1} d x

\int \frac{1}{3 1 - 4 x} d x

\int \frac{3 x - 2}{x ^{2} + 1} d x