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integral de 1/(x(x+b))

Solución

\int \frac{1}{x ( x + b )} d x

\frac{1}{b} (- ln (\frac{∣ x + b ∣}{∣ b ∣}) + ln \frac{x + b}{b} - 1) + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{x ( x + b )} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{( u - b ) u} d u

= \int \frac{1}{( u - b ) u} d u

u - b = b (\frac{u}{b} - 1)

= \int \frac{1}{b ( \frac{u}{b} - 1 ) u} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{b} \cdot \int \frac{1}{( \frac{u}{b} - 1 ) u} d u

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{v ( v - 1 )} d v

= \frac{1}{b} \cdot \int \frac{1}{v ( v - 1 )} d v

Tomar la fracción parcial de

\frac{1}{v ( v - 1 )} : - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}

= \frac{1}{b} \cdot \int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{b} (- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v)

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v - 1} d v = ln ∣ v - 1 ∣

= \frac{1}{b} (- ln ∣ v ∣ + ln ∣ v - 1 ∣)

Sustitución hacia atrás

= \frac{1}{b} (- ln \frac{x + b}{b} + ln \frac{x + b}{b} - 1)

Aplicar las propiedades de los valores absolutos:

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

\frac{x + b}{b} = \frac{∣ x + b ∣}{∣ b ∣}

= \frac{1}{b} (- ln (\frac{∣ x + b ∣}{∣ b ∣}) + ln \frac{x + b}{b} - 1)

Agregar una constante a la solución

= \frac{1}{b} (- ln (\frac{∣ x + b ∣}{∣ b ∣}) + ln \frac{x + b}{b} - 1) + C

\int 5^{x} sin (x) d x

\int \frac{x ^{3} - 8 x + 1}{8 x ^{4}} d x

\int \frac{x}{b - a} d x

\int (x + 2) 3 - x d x

\int 2 e^{x} cos (e^{x}) d x