integral of 1/(2+sin(θ)+cos(θ))

Lösung

\int \frac{1}{2 + sin ( θ ) + cos ( θ )} d θ

2 arctan (\frac{1}{2} (tan (\frac{θ}{2}) + 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 + sin ( θ ) + cos ( θ )} d θ

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{u ^{2} + 2 u + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 2 u + 3} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + 2 u + 3 : (u + 1)^{2} + 2

= 2 \cdot \int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2} + 2} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 2} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (w)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( \frac{θ}{2} ) + 1}{2})

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} arctan (\frac{tan ( \frac{θ}{2} ) + 1}{2}) : 2 arctan (\frac{1}{2} (tan (\frac{θ}{2}) + 1))

= 2 arctan (\frac{1}{2} (tan (\frac{θ}{2}) + 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 arctan (\frac{1}{2} (tan (\frac{θ}{2}) + 1)) + C

\int 4 sinh (x) + x^{7} d x

\int - 32 t d t

\int x^{2} + 2 cos (x) + 3 d x

\int \frac{5 x ^{2} - 7 x + 10}{x ^{3} + 12 x ^{2} + 36 x} d x

\int (\frac{arctan ( 3 x )}{1 + 9 x ^{2}}) d x