integral of 5/(sqrt(x+1)+\sqrt{x)}

Lösung

\int \frac{5}{x + 1 + x} d x

\frac{5 ( 3 ( x + 1 + x ) ^{3} x + 1 + 3 x ( x + 1 + x ) ^{3} + 1 )}{6 ( x + 1 + x ) ^{3}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5}{x + 1 + x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{x + 1 + x} d x

Wende U-Substitution an

= 5 \cdot \int \frac{( u + 1 ) ( u - 1 ) ( u ^{2} + 1 )}{2 u ^{4}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{( u + 1 ) ( u - 1 ) ( u ^{2} + 1 )}{u ^{4}} d u

Multipliziere aus

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 ) ( u ^{2} + 1 )}{u ^{4}} : 1 - \frac{1}{u ^{4}}

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - \frac{1}{u ^{4}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int \frac{1}{u ^{4}} d u)

\int 1 d u = u

\int \frac{1}{u ^{4}} d u = - \frac{1}{3 u ^{3}}

= 5 \cdot \frac{1}{2} (u - (- \frac{1}{3 u ^{3}}))

Setze in

u = x + 1 + x

ein

= 5 \cdot \frac{1}{2} (x + 1 + x - (- \frac{1}{3 ( x + 1 + x ) ^{3}}))

Vereinfache

5 \cdot \frac{1}{2} (x + 1 + x - (- \frac{1}{3 ( x + 1 + x ) ^{3}})) : \frac{5 ( 3 ( x + 1 + x ) ^{3} x + 1 + 3 x ( x + 1 + x ) ^{3} + 1 )}{6 ( x + 1 + x ) ^{3}}

= \frac{5 ( 3 ( x + 1 + x ) ^{3} x + 1 + 3 x ( x + 1 + x ) ^{3} + 1 )}{6 ( x + 1 + x ) ^{3}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{5 ( 3 ( x + 1 + x ) ^{3} x + 1 + 3 x ( x + 1 + x ) ^{3} + 1 )}{6 ( x + 1 + x ) ^{3}} + C

\int (sec (x) + csc^{2} (x)) d x

\int (1 - e^{3 x})^{2} d x

\int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{3}} d x

\int \frac{2 + x}{x ^{2} + 4} d x

\int ln (\frac{x}{y}) d x