integral de 1/((sqrt(x^2+5))^3)

Solução

\int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{3}} d x

\frac{x}{5 5 + x ^{2}} + C

Passos da solução

\int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{3}} d x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}

(x^{2} + 5)^{3} = (x^{2} + 5)^{\frac{3}{2}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Multiplicar pelo conjugado de

x^{2} + 5 : \frac{x ^{4} - 25}{x ^{2} - 5}

= \int \frac{1}{( \frac{x ^{4} - 25}{x ^{2} - 5} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{5 ( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Aplicar integração por substituição trigonométrica

= \frac{1}{5} \cdot \int cos (v) d v

Aplicar as regras de integração:

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{5} sin (v)

Substituir na equação

= \frac{1}{5} sin (arctan (\frac{x}{5}))

Simplificar

\frac{1}{5} sin (arctan (\frac{x}{5})) : \frac{x}{5 5 + x ^{2}}

= \frac{x}{5 5 + x ^{2}}

Adicionar uma constante à solução

= \frac{x}{5 5 + x ^{2}} + C

\int \frac{2 + x}{x ^{2} + 4} d x

\int ln (\frac{x}{y}) d x

\int x \cdot cos^{2} (6 \cdot x) d x

\int cos (x y) - x y sin (x y) d x

\int (\frac{( x ^{2} - 1 )}{x})^{2} d x