integral of (sqrt(x))/(2sqrt(x+1))

解

\int \frac{x}{2 x + 1} d x

x x + 1 - \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x - \frac{1}{2} ln x + 1 + x + C

解答ステップ

\int \frac{x}{2 x + 1} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{x}{x + 1} d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} (2 x x + 1 - \int \frac{x + 1}{x} d x)

\int \frac{x + 1}{x} d x = \frac{x + 1}{x} x + ln x + 1 + x

= \frac{1}{2} (2 x x + 1 - (\frac{x + 1}{x} x + ln x + 1 + x))

簡素化

\frac{1}{2} (2 x x + 1 - (\frac{x + 1}{x} x + ln x + 1 + x)) : x x + 1 - \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x - \frac{1}{2} ln x + 1 + x

= x x + 1 - \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x - \frac{1}{2} ln x + 1 + x

定数を解答に追加する

= x x + 1 - \frac{1}{2} \frac{x + 1}{x} x - \frac{1}{2} ln x + 1 + x + C