integral of 1/(y^3-4y)

Lösung

\int \frac{1}{y ^{3} - 4 y} d y

- \frac{1}{4} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ y - 2 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{y ^{3} - 4 y} d y

Faktorisiere

y^{3} - 4 y : - (- y^{3} + 4 y)

= \int \frac{1}{- ( - y ^{3} + 4 y )} d y

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- y ^{3} + 4 y} d y

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{- y ^{3} + 4 y} : \frac{1}{4 y} - \frac{1}{8 ( y + 2 )} - \frac{1}{8 ( y - 2 )}

= - \int \frac{1}{4 y} - \frac{1}{8 ( y + 2 )} - \frac{1}{8 ( y - 2 )} d y

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int \frac{1}{4 y} d y - \int \frac{1}{8 ( y + 2 )} d y - \int \frac{1}{8 ( y - 2 )} d y)

\int \frac{1}{4 y} d y = \frac{1}{4} ln ∣ y ∣

\int \frac{1}{8 ( y + 2 )} d y = \frac{1}{8} ln ∣ y + 2 ∣

\int \frac{1}{8 ( y - 2 )} d y = \frac{1}{8} ln ∣ y - 2 ∣

= - (\frac{1}{4} ln ∣ y ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ y + 2 ∣ - \frac{1}{8} ln ∣ y - 2 ∣)

Vereinfache

= - \frac{1}{4} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ y - 2 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ y + 2 ∣ + \frac{1}{8} ln ∣ y - 2 ∣ + C

\int p (p + 1)^{4} d p

\int sin^{4} (4 x) cos^{4} (4 x) d x

\int \frac{y}{z} d z

\int x x^{2} - 8 d x

\int (x - 1) d x