integral de e^{2x}sin(x)cos(x)

Solución

\int e^{2 x} sin (x) cos (x) d x

\frac{1}{8} (- e^{2 x} cos (2 x) + e^{2 x} sin (2 x)) + C

Pasos de solución

\int e^{2 x} sin (x) cos (x) d x

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \int \frac{1}{2} e^{2 x} sin (2 x) d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{2 x} sin (2 x) d x

Aplicar integración por partes

: - \frac{1}{2} e^{2 x} cos (2 x) - \int - e^{2 x} cos (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{2 x} cos (2 x) - \int - e^{2 x} cos (2 x) d x)

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{2 x} cos (2 x) - (- \int e^{2 x} cos (2 x) d x))

Aplicar integración por partes

: \frac{1}{2} e^{2 x} sin (2 x) - \int e^{2 x} sin (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{2 x} cos (2 x) - (- (\frac{1}{2} e^{2 x} sin (2 x) - \int e^{2 x} sin (2 x) d x)))

Por lo tanto

\frac{1}{2} \cdot \int e^{2 x} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{2 x} cos (2 x) - (- (\frac{1}{2} e^{2 x} sin (2 x) - \int e^{2 x} sin (2 x) d x)))

Despejar

\int e^{2 x} sin (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{e ^{2 x} cos ( 2 x )}{4} + \frac{e ^{2 x} sin ( 2 x )}{4})

Simplificar

\frac{1}{2} (- \frac{e ^{2 x} cos ( 2 x )}{4} + \frac{e ^{2 x} sin ( 2 x )}{4}) : \frac{1}{8} (- e^{2 x} cos (2 x) + e^{2 x} sin (2 x))

= \frac{1}{8} (- e^{2 x} cos (2 x) + e^{2 x} sin (2 x))

Agregar una constante a la solución

= \frac{1}{8} (- e^{2 x} cos (2 x) + e^{2 x} sin (2 x)) + C

\int \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{5} ( x )} d x

\int 2^{x - 3} d x

\int \frac{1}{x} \cdot e^{x} d x

\int \frac{1}{2} x + 4 d x

\int (8 - 5 x)^{9} d x