integral of 1/((x^2-2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

- \frac{x}{2 ( x ^{2} - 2 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} - 2 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{sec ( u )}{2 tan ^{2} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{sec ( u )}{tan ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{cos ( u )}{sin ^{2} ( u )} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} d v

Wende die Potenzregel an

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{v})

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} - \frac{1}{sin ( arcsec ( \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} x ) )}

Vereinfache

\frac{1}{2} - \frac{1}{sin ( arcsec ( \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}}} x ) )} : - \frac{x}{2 ( x ^{2} - 2 ) ^{\frac{1}{2}}}

= - \frac{x}{2 ( x ^{2} - 2 ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{x}{2 ( x ^{2} - 2 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{3}{6 x - 9} d x

\int \frac{e ^{x} sin ( x )}{2} d x

\int \frac{e ^{3 x}}{1 - e ^{2 x}} d x

\int x (3 x^{2} + 7)^{9} d x

\int 5 sin^{3} (4 x) d x