integral of t*e^{-at}

Lösung

\int t \cdot e^{- a t} d t

\frac{1}{a ^{2}} (- a e^{- a t} t - e^{- a t}) + C

Schritte zur Lösung

\int t e^{- a t} d t

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{u} u}{a ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int e^{u} u d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{a ^{2}} (e^{u} u - \int e^{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{a ^{2}} (e^{u} u - e^{u})

Setze in

u = - a t

ein

= \frac{1}{a ^{2}} (e^{- a t} (- a t) - e^{- a t})

Vereinfache

= \frac{1}{a ^{2}} (- a e^{- a t} t - e^{- a t})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{a ^{2}} (- a e^{- a t} t - e^{- a t}) + C

\int \frac{x ^{2} + 2 x + 4}{x} d x

\int 10 x^{- 2} d x

\int y^{2} d y

\int cot^{2} (6 x^{2}) x d x

\int \frac{1}{e ^{2 x}} d x