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integral of (y^3)/((2+y^2)^{5/2)}

Lösung

\int \frac{y ^{3}}{( 2 + y ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d y

Lösung

- \frac{3 y ^{2} + 4}{3 ( y ^{2} + 2 ) ^{\frac{3}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{y ^{3}}{( 2 + y ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u - 2}{2 u ^{\frac{5}{2}}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u - 2}{u ^{\frac{5}{2}}} d u

Multipliziere aus

\frac{u - 2}{u ^{\frac{5}{2}}} : \frac{1}{u ^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{u ^{\frac{5}{2}}}

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{u ^{\frac{5}{2}}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int \frac{1}{u ^{\frac{3}{2}}} d u - \int \frac{2}{u ^{\frac{5}{2}}} d u)

\int \frac{1}{u ^{\frac{3}{2}}} d u = - \frac{2}{u ^{\frac{1}{2}}}

\int \frac{2}{u ^{\frac{5}{2}}} d u = - \frac{4}{3 u ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{u ^{\frac{1}{2}}} - (- \frac{4}{3 u ^{\frac{3}{2}}}))

Setze in

u = 2 + y^{2}

ein

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{( 2 + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} - (- \frac{4}{3 ( 2 + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- \frac{2}{( 2 + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} - (- \frac{4}{3 ( 2 + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}})) : - \frac{3 y ^{2} + 4}{3 ( y ^{2} + 2 ) ^{\frac{3}{2}}}

= - \frac{3 y ^{2} + 4}{3 ( y ^{2} + 2 ) ^{\frac{3}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{3 y ^{2} + 4}{3 ( y ^{2} + 2 ) ^{\frac{3}{2}}} + C

Graph

Beliebte Beispiele

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