интеграл от (cos(x))/(sqrt(1+cos^2(x)))

Решение

\int \frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

arcsin (\frac{1}{2} sin (x)) + C

Шаги решения

\int \frac{cos ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{cos ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + 2} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{- u ^{2} + 2} d u

Примените тригонометрическую подстановку

= \int 1 d v

Интеграл константы:

\int a d x = a x

= 1 \cdot v

Делаем обратную замену

= 1 \cdot arcsin (\frac{1}{2} sin (x))

После упрощения получаем

= arcsin (\frac{1}{2} sin (x))

Добавить константу к решению

= arcsin (\frac{1}{2} sin (x)) + C