integral of 1/((x-1)^4sqrt(x^2-2x))

Lösung

\int \frac{1}{( x - 1 ) ^{4} x ^{2} - 2 x} d x

\frac{x ^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{( x ^{2} - 2 x ) ^{\frac{3}{2}}}{3 ( x - 1 ) ^{3}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x - 1 ) ^{4} x ^{2} - 2 x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{4} u ^{2} - 1} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cos^{3} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (1 - sin^{2} (v)) cos (v) d v

Wende U-Substitution an

= \int 1 - w^{2} d w

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 1 d w - \int w^{2} d w

\int 1 d w = w

\int w^{2} d w = \frac{w ^{3}}{3}

= w - \frac{w ^{3}}{3}

Ersetze zurück

= sin (arcsec (x - 1)) - \frac{sin ^{3} ( arcsec ( x - 1 ) )}{3}

Vereinfache

sin (arcsec (x - 1)) - \frac{sin ^{3} ( arcsec ( x - 1 ) )}{3} : \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{( x ^{2} - 2 x ) ^{\frac{3}{2}}}{3 ( x - 1 ) ^{3}}

= \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{( x ^{2} - 2 x ) ^{\frac{3}{2}}}{3 ( x - 1 ) ^{3}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 1} - \frac{( x ^{2} - 2 x ) ^{\frac{3}{2}}}{3 ( x - 1 ) ^{3}} + C

\int \frac{cos ( θ )}{sin ( θ ) + 2} d θ

\int \frac{7}{9 - 25 x ^{2}} d x

\int \frac{6 x}{2 + 3 x ^{2}} d x

\int \frac{1 - 4 x ^{4} + x ^{3}}{x ^{3}} d x

\int 8 cos (t) + sec^{2} (t) d t