integral of 5/(x^2-x+1)

Lösung

\int \frac{5}{x ^{2} - x + 1} d x

\frac{10}{3} arctan (\frac{2 x - 1}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5}{x ^{2} - x + 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} - x + 1} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - x + 1 : (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= 5 \cdot \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Wende U-Substitution an

= 5 \cdot \int \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= 5 \cdot 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (v)

Ersetze zurück

= 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x - \frac{1}{2}))

Vereinfache

5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x - \frac{1}{2})) : \frac{10}{3} arctan (\frac{2 x - 1}{3})

= \frac{10}{3} arctan (\frac{2 x - 1}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{10}{3} arctan (\frac{2 x - 1}{3}) + C

\int \frac{e x + 1}{x} d x

\int \frac{3}{x ^{2}} + 4 - \frac{1}{4 x ^{3}} d x

\int x (7 x^{2} - 9)^{\frac{5}{2}} d x

\int x^{2} ln (x^{3} + 1) d x

\int 6 csc (x) cot (x) - sec (x) tan (x) d x