integral of 1/(x(x^2+9)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{1}{27} (ln tan (\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{3}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{27 sec ( u ) tan ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1}{sec ( u ) tan ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )} d u

Multipliziere aus

\frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )} : \frac{1}{sin ( u )} - sin (u)

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1}{sin ( u )} - sin (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{27} (\int \frac{1}{sin ( u )} d u - \int sin (u) d u)

\int \frac{1}{sin ( u )} d u = ln tan (\frac{u}{2})

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{27} (ln tan (\frac{u}{2}) - (- cos (u)))

Setze in

u = arctan (\frac{1}{3} x)

ein

= \frac{1}{27} (ln tan (\frac{arctan ( \frac{1}{3} x )}{2}) - (- cos (arctan (\frac{1}{3} x))))

Vereinfache

\frac{1}{27} (ln tan (\frac{arctan ( \frac{1}{3} x )}{2}) - (- cos (arctan (\frac{1}{3} x)))) : \frac{1}{27} (ln tan (\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{3}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}})

= \frac{1}{27} (ln tan (\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{3}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{27} (ln tan (\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{3}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

\int \frac{2 x + 5}{( x + 2 ) ^{2}} d x

\int cos^{13} (θ) sin (θ) d θ

\int tan^{2} (x) + sec^{2} (x) d x

\int t (1 + t^{2}) d t

\int y 5 y + 1 d y