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integral of 1/(x(x^2+9)^{3/2)}

解

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

解

\frac{1}{27} (ln tan (\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{3}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x ( x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int \frac{1}{27 sec ( u ) tan ( u )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1}{sec ( u ) tan ( u )} d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )} d u

拡張

\frac{1 - sin ^{2} ( u )}{sin ( u )} : \frac{1}{sin ( u )} - sin (u)

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1}{sin ( u )} - sin (u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{27} (\int \frac{1}{sin ( u )} d u - \int sin (u) d u)

\int \frac{1}{sin ( u )} d u = ln tan (\frac{u}{2})

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{27} (ln tan (\frac{u}{2}) - (- cos (u)))

代用を戻す

u = arctan (\frac{1}{3} x)

= \frac{1}{27} (ln tan (\frac{arctan ( \frac{1}{3} x )}{2}) - (- cos (arctan (\frac{1}{3} x))))

簡素化

\frac{1}{27} (ln tan (\frac{arctan ( \frac{1}{3} x )}{2}) - (- cos (arctan (\frac{1}{3} x)))) : \frac{1}{27} (ln tan (\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{3}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}})

= \frac{1}{27} (ln tan (\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{3}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{27} (ln tan (\frac{1}{2} arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{3}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

グラフ

人気の例

integral of (2x+5)/((x+2)^2)

\int \frac{2 x + 5}{( x + 2 ) ^{2}} d x

integral of cos^{13}(θ)sin(θ)

\int cos^{13} (θ) sin (θ) d θ

integral of tan^2(x)+sec^2(x)

\int tan^{2} (x) + sec^{2} (x) d x

integral of t(1+t^2)

\int t (1 + t^{2}) d t

integral of ysqrt(5y+1)

\int y 5 y + 1 d y