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人気のある微分積分 >

integral of e^{-st}(t^2e^{3t})

解

\int e^{- s t} (t^{2} e^{3 t}) d t

解

\frac{1}{( - s + 3 ) ^{3}} (e^{t (- s + 3)} t^{2} (- s + 3)^{2} - 2 (e^{t (- s + 3)} t (- s + 3) - e^{t (- s + 3)})) + C

解答ステップ

\int e^{- s t} t^{2} e^{3 t} d t

簡素化

e^{- s t} e^{3 t} : e^{- s t + 3 t}

= \int e^{- s t + 3 t} t^{2} d t

因数

- s t + 3 t : t (- s + 3)

= \int e^{t (- s + 3)} t^{2} d t

u置換積分法を適用する

= \int \frac{e ^{u} u ^{2}}{( - s + 3 ) ^{3}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{( - s + 3 ) ^{3}} \cdot \int e^{u} u^{2} d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{( - s + 3 ) ^{3}} (u^{2} e^{u} - \int 2 u e^{u} d u)

\int 2 u e^{u} d u = 2 (e^{u} u - e^{u})

= \frac{1}{( - s + 3 ) ^{3}} (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))

代用を戻す

u = t (- s + 3)

= \frac{1}{( - s + 3 ) ^{3}} ((t (- s + 3))^{2} e^{t (- s + 3)} - 2 (e^{t (- s + 3)} t (- s + 3) - e^{t (- s + 3)}))

指数の規則を適用する:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= \frac{1}{( - s + 3 ) ^{3}} (e^{t (- s + 3)} t^{2} (- s + 3)^{2} - 2 (e^{t (- s + 3)} t (- s + 3) - e^{t (- s + 3)}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{( - s + 3 ) ^{3}} (e^{t (- s + 3)} t^{2} (- s + 3)^{2} - 2 (e^{t (- s + 3)} t (- s + 3) - e^{t (- s + 3)})) + C

グラフ

人気の例

integral of (x^2)/((x-8)(x^2-64))

\int \frac{x ^{2}}{( x - 8 ) ( x ^{2} - 64 )} d x

integral of-x^2-x+12

\int - x^{2} - x + 12 d x

integral of 6/13 x^{13/7}

\int \frac{6}{13} x^{\frac{13}{7}} d x

integral of (5x^2+x)/((20x^3+6x^2)^2)

\int \frac{5 x ^{2} + x}{( 20 x ^{3} + 6 x ^{2} ) ^{2}} d x

integral of (-1)/(x^6)

\int \frac{- 1}{x ^{6}} d x