интеграл с 0 до pi от sqrt(2+2cos(θ))

Решение

\int_{0}^{π} 2 + 2 cos (θ) d θ

4

Шаги решения

\int_{0}^{π} 2 + 2 cos (θ) d θ

коэффициент

2 + 2 cos (θ) : 2 (cos (θ) + 1)

= \int_{0}^{π} 2 (cos (θ) + 1) d θ

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int_{0}^{π} 2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) d θ

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{π} cos^{2} (\frac{θ}{2}) d θ

Примените правило возведения в степень:

a^{2} = ∣ a ∣

= 2 \cdot \int_{0}^{π} cos (\frac{θ}{2}) d θ

Исключить абсолютные величины

= 2 \cdot \int_{0}^{π} cos (\frac{θ}{2}) d θ

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (u) \cdot 2 d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (u) d u

Использовать общий интеграл:

\int cos (u) d u = sin (u)

= 2 \cdot 2 [sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}

После упрощения получаем

= 4 [sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}

Вычислить границы:

1

= 4 \cdot 1

После упрощения получаем

= 4