integral from 0 to z of z/(x^2+z^2)

解

\int_{0}^{z} \frac{z}{x ^{2} + z ^{2}} d x

\frac{π}{4}

十進法表記

0.78539 \dots

解答ステップ

\int_{0}^{z} \frac{z}{x ^{2} + z ^{2}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= z \cdot \int_{0}^{z} \frac{1}{z ^{2} + x ^{2}} d x

置換積分法を適用する

= z \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{z ( u ^{2} + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= z \frac{1}{z} \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= z \frac{1}{z} [arctan (u)]_{0}^{1}

簡素化

z \frac{1}{z} [arctan (u)]_{0}^{1} : [arctan (u)]_{0}^{1}

= [arctan (u)]_{0}^{1}

限度を計算する:

\frac{π}{4}

= \frac{π}{4}