integral from 0 to x of (arctan(t))/t

解

\int_{0}^{x} \frac{arctan ( t )}{t} d t

\frac{i}{2} (Li_{2} (- i x) - Li_{2} (i x)) - \frac{i}{2} (Li_{2} (- 0 i) - Li_{2} (0 i))

解答ステップ

\int_{0}^{x} \frac{arctan ( t )}{t} d t

非初等積分を使用する:

\int \frac{arctan ( x )}{x} d x = \frac{1}{2} i (Li_{2} (- i x) - Li_{2} (i x))

= [\frac{1}{2} i (Li_{2} (- i t) - Li_{2} (i t))]_{0}^{x}

限度を計算する:

\frac{1}{2} i (Li_{2} (- i x) - Li_{2} (i x)) - \frac{1}{2} i (Li_{2} (- i 0) - Li_{2} (i 0))

= \frac{1}{2} i (Li_{2} (- i x) - Li_{2} (i x)) - \frac{1}{2} i (Li_{2} (- i 0) - Li_{2} (i 0))

簡素化

= \frac{i}{2} (Li_{2} (- i x) - Li_{2} (i x)) - \frac{i}{2} (Li_{2} (- 0 i) - Li_{2} (0 i))