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integral de 0 a 2 de 2e^{x^2-2x}

Solución

\int_{0}^{2} 2 e^{x^{2} - 2 x} d x

Solución

\frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{e}

Pasos de solución

\int_{0}^{2} 2 e^{x^{2} - 2 x} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{2} e^{x^{2} - 2 x} d x

Completar el cuadrado

x^{2} - 2 x : (x - 1)^{2} - 1

= 2 \cdot \int_{0}^{2} e^{(x - 1)^{2} - 1} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int_{- 1}^{1} e^{u^{2} - 1} d u

= 2 \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2} - 1} d u

Simplificar

e^{u^{2} - 1} : e^{u^{2}} e^{- 1}

= 2 \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} e^{- 1} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 e^{- 1} \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} d u

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= 2 \cdot \frac{1}{e} \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} d u

Esta es una integral no elemental:

\int e^{u^{2}} d u = \frac{π}{2} erfi (u)

= 2 \cdot \frac{1}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1}

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1} : \frac{2}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1}

= \frac{2}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1}

Calcular los limites:

\frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{2}

= \frac{2}{e} \cdot \frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{2}

Simplificar

= \frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{e}

Ejemplos populares

integral de 0 a pi/4 de tcos(2t)

\int_{0}^{\frac{π}{4}} t cos (2 t) d t

integral de 0 a 2 de ysqrt(2+4y^2)

\int_{0}^{2} y 2 + 4 y^{2} d y

integral de 8 a 16 de (x+1/x)

\int_{8}^{16} (x + \frac{1}{x}) d x

integral de 6 a 7 de x^2

\int_{6}^{7} x^{2} d x

integral de 0 a 1 de 19xe^x

\int_{0}^{1} 19 x e^{x} d x