интеграл с 0 до 2 от 2e^{x^2-2x}

Решение

\int_{0}^{2} 2 e^{x^{2} - 2 x} d x

\frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{e}

Шаги решения

\int_{0}^{2} 2 e^{x^{2} - 2 x} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{2} e^{x^{2} - 2 x} d x

Заполните квадрат

x^{2} - 2 x : (x - 1)^{2} - 1

= 2 \cdot \int_{0}^{2} e^{(x - 1)^{2} - 1} d x

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2} - 1} d u

Упростите

e^{u^{2} - 1} : e^{u^{2}} e^{- 1}

= 2 \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} e^{- 1} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 e^{- 1} \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} d u

Примените правило возведения в степень:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= 2 \cdot \frac{1}{e} \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} d u

Используйте неэлементарный интеграл:

\int e^{u^{2}} d u = \frac{π}{2} erfi (u)

= 2 \cdot \frac{1}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1}

Упростите

2 \cdot \frac{1}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1} : \frac{2}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1}

= \frac{2}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1}

Вычислить границы:

\frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{2}

= \frac{2}{e} \cdot \frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{2}

После упрощения получаем

= \frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{e}