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人気のある微分積分 >

積分記号 1/((x^2+2x)^{1/2)}

解

積分記号

\frac{1}{( x ^{2} + 2 x ) ^{\frac{1}{2}}}

解

ln (x^{2} + 2 x)^{\frac{1}{2}} + x + 1 + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 x ) ^{\frac{1}{2}}} d x

平方完成する

x^{2} + 2 x : (x + 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( ( x + 1 ) ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} d u

部分積分を適用する

= \frac{u}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} - \int - \frac{u ^{2}}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

\int - \frac{u ^{2}}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u = \frac{u}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} - ln (u^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} + u

= \frac{u}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} - (\frac{u}{( u ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} - ln (u^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} + u)

代用を戻す

u = x + 1

= \frac{x + 1}{( ( x + 1 ) ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 1}{( ( x + 1 ) ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} - ln ((x + 1)^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} + x + 1

簡素化

\frac{x + 1}{( ( x + 1 ) ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 1}{( ( x + 1 ) ^{2} - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} - ln ((x + 1)^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} + x + 1 : ln (x^{2} + 2 x)^{\frac{1}{2}} + x + 1

= ln (x^{2} + 2 x)^{\frac{1}{2}} + x + 1

定数を解答に追加する

= ln (x^{2} + 2 x)^{\frac{1}{2}} + x + 1 + C

グラフ

人気の例

積分記号 ((x+2))/((x^2+3x))

in t e g r a l \frac{( x + 2 )}{( x ^{2} + 3 x )}

積分記号 v/2

in t e g r a l \frac{v}{2}

積分記号 ((x-1))/((x^2+2x+3))

in t e g r a l \frac{( x - 1 )}{( x ^{2} + 2 x + 3 )}

積分記号 1/(x(x^2-1))

in t e g r a l \frac{1}{x ( x ^{2} - 1 )}

積分記号 (x^{-2}(e^x)^3)/3

in t e g r a l \frac{x ^{- 2} ( e ^{x} ) ^{3}}{3}