интеграл 2/((e^x+e^{-x))^2}

Решение

интеграл

\frac{2}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}}

- \frac{1}{e ^{2 x} + 1} + C

Шаги решения

\int \frac{2}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}} d x

коэффициент

\frac{1}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}}

= 2 \cdot \int \frac{1}{( e ^{- x} ( e ^{2 x} + 1 ) ) ^{2}} d x

(e^{- x} (e^{2 x} + 1))^{2} = e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}

= 2 \cdot \int \frac{1}{e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x}} d x

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( u ^{2} + 2 u + 1 )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 2 u + 1} d u

Заполните квадрат

u^{2} + 2 u + 1 : (u + 1)^{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} d v

Применить правило показателя степени

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{v})

Делаем обратную замену

= 2 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{e ^{2 x} + 1})

Упростите

2 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{e ^{2 x} + 1}) : - \frac{1}{e ^{2 x} + 1}

= - \frac{1}{e ^{2 x} + 1}

Добавить константу к решению

= - \frac{1}{e ^{2 x} + 1} + C