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受欢迎的微积分 >

积分 3x(1+x)^{-4}

解答

积分

3 x (1 + x)^{- 4}

解答

- \frac{3}{2 ( 1 + x ) ^{2}} + \frac{1}{( 1 + x ) ^{3}} + C

求解步骤

\int 3 x (1 + x)^{- 4} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int x (1 + x)^{- 4} d x

使用换元积分法

= 3 \cdot \int \frac{u - 1}{u ^{4}} d u

乘开

\frac{u - 1}{u ^{4}} : \frac{1}{u ^{3}} - \frac{1}{u ^{4}}

= 3 \cdot \int \frac{1}{u ^{3}} - \frac{1}{u ^{4}} d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (\int \frac{1}{u ^{3}} d u - \int \frac{1}{u ^{4}} d u)

\int \frac{1}{u ^{3}} d u = - \frac{1}{2 u ^{2}}

\int \frac{1}{u ^{4}} d u = - \frac{1}{3 u ^{3}}

= 3 (- \frac{1}{2 u ^{2}} - (- \frac{1}{3 u ^{3}}))

u = 1 + x

代回

= 3 (- \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}} - (- \frac{1}{3 ( 1 + x ) ^{3}}))

化简

3 (- \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}} - (- \frac{1}{3 ( 1 + x ) ^{3}})) : - \frac{3}{2 ( 1 + x ) ^{2}} + \frac{1}{( 1 + x ) ^{3}}

= - \frac{3}{2 ( 1 + x ) ^{2}} + \frac{1}{( 1 + x ) ^{3}}

解答补常数

= - \frac{3}{2 ( 1 + x ) ^{2}} + \frac{1}{( 1 + x ) ^{3}} + C

作图

流行的例子

积分 cos^4(x)sin^5(x)

in t e g r a l cos^{4} (x) sin^{5} (x)

积分 1/((a^2+x^2)^{0.5)}

in t e g r a l \frac{1}{( a ^{2} + x ^{2} ) ^{0.5}}

积分 (sin^2(x))/((1+sin(x)))

in t e g r a l \frac{sin ^{2} ( x )}{( 1 + sin ( x ) )}

积分 2/(x^{1/3)}

in t e g r a l \frac{2}{x ^{\frac{1}{3}}}

积分 cos^2(t)sin(t)

in t e g r a l cos^{2} (t) sin (t)