интеграл от 1/(cos^4(3x))

Решение

\int \frac{1}{cos ^{4} ( 3 x )} d x

\frac{1}{3} (tan (3 x) + \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{3}) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{cos ^{4} ( 3 x )} d x

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

= \int sec^{4} (3 x) d x

Применить подстановку интеграла

= \int sec^{4} (u) \frac{1}{3} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sec^{4} (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 + tan^{2} (u)) sec^{2} (u) d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{3} \cdot \int 1 + v^{2} d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (\int 1 d v + \int v^{2} d v)

\int 1 d v = v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= \frac{1}{3} (v + \frac{v ^{3}}{3})

Делаем обратную замену

= \frac{1}{3} (tan (3 x) + \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{3})

Добавить константу к решению

= \frac{1}{3} (tan (3 x) + \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{3}) + C