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integral of (sin(2x))/(3+cos(x))

Lösung

\int \frac{sin ( 2 x )}{3 + cos ( x )} d x

- 2 (3 + cos (x) - 3 ln ∣ 3 + cos (x) ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( 2 x )}{3 + cos ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{3 + cos ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{cos ( x ) sin ( x )}{3 + cos ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int - \frac{u}{3 + u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int \frac{u}{3 + u} d u)

Wende U-Substitution an

= 2 (- \int \frac{v - 3}{v} d v)

Multipliziere aus

\frac{v - 3}{v} : 1 - \frac{3}{v}

= 2 (- \int 1 - \frac{3}{v} d v)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- (\int 1 d v - \int \frac{3}{v} d v))

\int 1 d v = v

\int \frac{3}{v} d v = 3 ln ∣ v ∣

= 2 (- (v - 3 ln ∣ v ∣))

Ersetze zurück

= 2 (- (3 + cos (x) - 3 ln ∣ 3 + cos (x) ∣))

Vereinfache

= - 2 (3 + cos (x) - 3 ln ∣ 3 + cos (x) ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 (3 + cos (x) - 3 ln ∣ 3 + cos (x) ∣) + C

\int \frac{sin ( x )}{cos ^{2} ( x ) + 3} d x

\int 4 sin (8 x) cos (3 x) d x

\int (x + 4) 6^{(x + 4)^{2}} d x

\int x^{2} - x (4 x - 2) d x

\int (12 x^{3} - \frac{3}{x ^{3}} + 5 e^{- x}) d x