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integral de 1/((x^2+2x+10)^2)

Solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 x + 10 ) ^{2}} d x

\frac{1}{54} (arctan (\frac{1}{3} (x + 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{1}{3} (x + 1)))) + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 x + 10 ) ^{2}} d x

Completar el cuadrado

x^{2} + 2 x + 10 : (x + 1)^{2} + 9

= \int \frac{1}{( ( x + 1 ) ^{2} + 9 ) ^{2}} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{( u ^{2} + 9 ) ^{2}} d u

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 9 ) ^{2}} d u

Aplicar integración por sustitución

= \int \frac{1}{27 ( v ^{2} + 1 ) ^{2}} d v

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1}{( v ^{2} + 1 ) ^{2}} d v

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int \frac{1}{sec ^{4} ( w ) cos ^{2} ( w )} d w

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( w ) cos ^{2} ( w )} d w

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \frac{1}{27} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 w )}{2} d w

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 w) d w

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d w + \int cos (2 w) d w)

\int 1 d w = w

\int cos (2 w) d w = \frac{1}{2} sin (2 w)

= \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2} (w + \frac{1}{2} sin (2 w))

Sustitución hacia atrás

= \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x + 1}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x + 1}{3})))

Simplificar

\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x + 1}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x + 1}{3}))) : \frac{1}{54} (arctan (\frac{1}{3} (x + 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{1}{3} (x + 1))))

= \frac{1}{54} (arctan (\frac{1}{3} (x + 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{1}{3} (x + 1))))

Agregar una constante a la solución

= \frac{1}{54} (arctan (\frac{1}{3} (x + 1)) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{1}{3} (x + 1)))) + C

\int \frac{4 x ^{3}}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}} d x

\int \frac{4}{x ^{- 3}} d x

\int \frac{3 x ^{2} - 7 x + 5}{( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{x}{( 25 + x ^{2} ) ^{3}} d x

\int \frac{x ^{3} - 1}{x} d x