integral of 1/(1+y^4)

解

\int \frac{1}{1 + y ^{4}} d y

\frac{1}{4 2} (ln 2 y^{2} + 22 y + 2 + 2 arctan (2 y + 1)) + \frac{1}{4 2} (- ln 2 y^{2} - 22 y + 2 + 2 arctan (2 y - 1)) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{1 + y ^{4}} d y

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{1 + y ^{4}} : \frac{y + 2}{2 2 ( y ^{2} + 2 y + 1 )} + \frac{- y + 2}{2 2 ( y ^{2} - 2 y + 1 )}

= \int \frac{y + 2}{2 2 ( y ^{2} + 2 y + 1 )} + \frac{- y + 2}{2 2 ( y ^{2} - 2 y + 1 )} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{y + 2}{2 2 ( y ^{2} + 2 y + 1 )} d y + \int \frac{- y + 2}{2 2 ( y ^{2} - 2 y + 1 )} d y

\int \frac{y + 2}{2 2 ( y ^{2} + 2 y + 1 )} d y = \frac{1}{4 2} (ln 2 y^{2} + 22 y + 2 + 2 arctan (2 y + 1))

\int \frac{- y + 2}{2 2 ( y ^{2} - 2 y + 1 )} d y = \frac{1}{4 2} (- ln 2 y^{2} - 22 y + 2 + 2 arctan (2 y - 1))

= \frac{1}{4 2} (ln 2 y^{2} + 22 y + 2 + 2 arctan (2 y + 1)) + \frac{1}{4 2} (- ln 2 y^{2} - 22 y + 2 + 2 arctan (2 y - 1))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{4 2} (ln 2 y^{2} + 22 y + 2 + 2 arctan (2 y + 1)) + \frac{1}{4 2} (- ln 2 y^{2} - 22 y + 2 + 2 arctan (2 y - 1)) + C