интеграл от (x^2-6x+13)^{-1}

Решение

\int (x^{2} - 6 x + 13)^{- 1} d x

\frac{1}{2} arctan (\frac{x - 3}{2}) + C

Шаги решения

\int (x^{2} - 6 x + 13)^{- 1} d x

Примените правило возведения в степень:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \int \frac{1}{x ^{2} - 6 x + 13} d x

Заполните квадрат

x^{2} - 6 x + 13 : (x - 3)^{2} + 4

= \int \frac{1}{( x - 3 ) ^{2} + 4} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{2} arctan (v)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} arctan (\frac{x - 3}{2})

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} arctan (\frac{x - 3}{2}) + C