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integral of sqrt((e^x)^2-1)

Lösung

\int (e^{x})^{2} - 1 d x

- arctan (e^{2 x} - 1) + e^{2 x} - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int (e^{x})^{2} - 1 d x

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= \int e^{2 x} - 1 d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{u} - 1}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{u} - 1 d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{v - 1}{v} d v

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 w ^{2}}{w ^{2} + 1} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{w ^{2}}{w ^{2} + 1} d w

\frac{w ^{2}}{w ^{2} + 1} = - \frac{1}{w ^{2} + 1} + 1

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int - \frac{1}{w ^{2} + 1} + 1 d w

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w + \int 1 d w)

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

\int 1 d w = w

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- arctan (w) + w)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- arctan (e^{2 x} - 1) + e^{2 x} - 1)

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (- arctan (e^{2 x} - 1) + e^{2 x} - 1) : - arctan (e^{2 x} - 1) + e^{2 x} - 1

= - arctan (e^{2 x} - 1) + e^{2 x} - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - arctan (e^{2 x} - 1) + e^{2 x} - 1 + C

\int (y e^{x} - ln (y^{x})) d x

\int ln^{2} (\frac{1}{x}) d x

\int \frac{x + 1}{x ^{2} + x - 2} d x

\int \frac{x - 5}{( x + 4 ) ^{2}} d x

\int \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 16} d x