integral of cos^3(x/a)sin^2(x/a)

Lösung

\int cos^{3} (\frac{x}{a}) sin^{2} (\frac{x}{a}) d x

a (\frac{sin ^{3} ( \frac{x}{a} )}{3} - \frac{sin ^{5} ( \frac{x}{a} )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{3} (\frac{x}{a}) sin^{2} (\frac{x}{a}) d x

Wende U-Substitution an

= \int cos^{3} (u) sin^{2} (u) a d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a \cdot \int cos^{3} (u) sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= a \cdot \int (1 - sin^{2} (u)) cos (u) sin^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= a \cdot \int v^{2} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

v^{2} (1 - v^{2}) : v^{2} - v^{4}

= a \cdot \int v^{2} - v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a (\int v^{2} d v - \int v^{4} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= a (\frac{v ^{3}}{3} - \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= a (\frac{sin ^{3} ( \frac{x}{a} )}{3} - \frac{sin ^{5} ( \frac{x}{a} )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= a (\frac{sin ^{3} ( \frac{x}{a} )}{3} - \frac{sin ^{5} ( \frac{x}{a} )}{5}) + C

\int (2 x^{3} + 3)^{2} d x

\int \frac{4 + 6 x}{6 + 4 x + 3 x ^{2}} d x

\int \frac{4 x ^{2} + 8 x}{e ^{x + 1}} d x

\int \frac{z ^{5}}{( 9 z ^{2} - 25 ) ^{\frac{3}{2}}} d z

\int \frac{x}{x ^{'}} d x