integral of (e^{3x}+1)^{10}e^{3x}

解答

\int (e^{3 x} + 1)^{10} e^{3 x} d x

\frac{1}{33} e^{33 x} + \frac{1}{3} e^{30 x} + \frac{5}{3} e^{27 x} + 5 e^{24 x} + 10 e^{21 x} + 14 e^{18 x} + 14 e^{15 x} + 10 e^{12 x} + 5 e^{9 x} + \frac{5}{3} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C

求解步骤

\int (e^{3 x} + 1)^{10} e^{3 x} d x

乘开

(e^{3 x} + 1)^{10} e^{3 x} : e^{33 x} + 10 e^{30 x} + 45 e^{27 x} + 120 e^{24 x} + 210 e^{21 x} + 252 e^{18 x} + 210 e^{15 x} + 120 e^{12 x} + 45 e^{9 x} + 10 e^{6 x} + e^{3 x}

= \int e^{33 x} + 10 e^{30 x} + 45 e^{27 x} + 120 e^{24 x} + 210 e^{21 x} + 252 e^{18 x} + 210 e^{15 x} + 120 e^{12 x} + 45 e^{9 x} + 10 e^{6 x} + e^{3 x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{33 x} d x + \int 10 e^{30 x} d x + \int 45 e^{27 x} d x + \int 120 e^{24 x} d x + \int 210 e^{21 x} d x + \int 252 e^{18 x} d x + \int 210 e^{15 x} d x + \int 120 e^{12 x} d x + \int 45 e^{9 x} d x + \int 10 e^{6 x} d x + \int e^{3 x} d x

\int e^{33 x} d x = \frac{1}{33} e^{33 x}

\int 10 e^{30 x} d x = \frac{1}{3} e^{30 x}

\int 45 e^{27 x} d x = \frac{5}{3} e^{27 x}

\int 120 e^{24 x} d x = 5 e^{24 x}

\int 210 e^{21 x} d x = 10 e^{21 x}

\int 252 e^{18 x} d x = 14 e^{18 x}

\int 210 e^{15 x} d x = 14 e^{15 x}

\int 120 e^{12 x} d x = 10 e^{12 x}

\int 45 e^{9 x} d x = 5 e^{9 x}

\int 10 e^{6 x} d x = \frac{5}{3} e^{6 x}

\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x}

= \frac{1}{33} e^{33 x} + \frac{1}{3} e^{30 x} + \frac{5}{3} e^{27 x} + 5 e^{24 x} + 10 e^{21 x} + 14 e^{18 x} + 14 e^{15 x} + 10 e^{12 x} + 5 e^{9 x} + \frac{5}{3} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x}

解答补常数

= \frac{1}{33} e^{33 x} + \frac{1}{3} e^{30 x} + \frac{5}{3} e^{27 x} + 5 e^{24 x} + 10 e^{21 x} + 14 e^{18 x} + 14 e^{15 x} + 10 e^{12 x} + 5 e^{9 x} + \frac{5}{3} e^{6 x} + \frac{1}{3} e^{3 x} + C

\int \frac{1}{2} (5 - x) d x

\int x^{2} + 1 \cdot x d x

\int x e^{3 x^{2} - 1} d x

\int \frac{2}{5 x} d x

\int (1 + u + u^{2} + u^{5}) d u