integral of (9^x)/(1+81^x)

Lösung

\int \frac{9 ^{x}}{1 + 8 1 ^{x}} d x

\frac{arctan ( 9 ^{x} )}{2 ln ( 3 )} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{9 ^{x}}{1 + 8 1 ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{4 ln ( 3 ) \cdot 9 ^{\frac{l n ( u - 1 )}{4 l n ( 3 )}} u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4 ln ( 3 )} \cdot \int \frac{1}{9 ^{\frac{l n ( u - 1 )}{4 l n ( 3 )}} u} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{4 ln ( 3 )} \cdot \int \frac{2}{v ^{2} + 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4 ln ( 3 )} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{4 ln ( 3 )} \cdot 2 arctan (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{4 ln ( 3 )} \cdot 2 arctan (9^{\frac{l n ( 1 + 8 1 ^{x} - 1 )}{4 l n ( 3 )}})

Vereinfache

\frac{1}{4 ln ( 3 )} \cdot 2 arctan (9^{\frac{l n ( 1 + 8 1 ^{x} - 1 )}{4 l n ( 3 )}}) : \frac{arctan ( 9 ^{x} )}{2 ln ( 3 )}

= \frac{arctan ( 9 ^{x} )}{2 ln ( 3 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{arctan ( 9 ^{x} )}{2 ln ( 3 )} + C

\int y^{3} ln^{3} (y) d y

\int (x - 1)^{2} ln (x) d x

\int x arctan (\frac{2}{x}) d x

\int tan (x) (cot (x) + tan (x)) d x

\int x cos (\frac{1}{2}) x d x