integral of (e^x)/((e^x-6)(e^x+1))

Lösung

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} - 6 ) ( e ^{x} + 1 )} d x

- \frac{1}{7} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{7} ln ∣ e^{x} - 6 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} - 6 ) ( e ^{x} + 1 )} d x

Multipliziere aus

(e^{x} - 6) (e^{x} + 1) : e^{2 x} - 5 e^{x} - 6

= \int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 5 e ^{x} - 6} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} - 5 u - 6} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ^{2} - 5 u - 6} : - \frac{1}{7 ( u + 1 )} + \frac{1}{7 ( u - 6 )}

= \int - \frac{1}{7 ( u + 1 )} + \frac{1}{7 ( u - 6 )} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{7 ( u + 1 )} d u + \int \frac{1}{7 ( u - 6 )} d u

\int \frac{1}{7 ( u + 1 )} d u = \frac{1}{7} ln ∣ u + 1 ∣

\int \frac{1}{7 ( u - 6 )} d u = \frac{1}{7} ln ∣ u - 6 ∣

= - \frac{1}{7} ln ∣ u + 1 ∣ + \frac{1}{7} ln ∣ u - 6 ∣

Setze in

u = e^{x}

ein

= - \frac{1}{7} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{7} ln ∣ e^{x} - 6 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{7} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{7} ln ∣ e^{x} - 6 ∣ + C

\int \frac{ln ( x ^{2} )}{3 x} d x

\int e^{(e^{x} + x)} d x

\int x^{5} + x + 3 d x

\int (\frac{2}{x} - x)^{2} d x

\int \frac{x - 1}{x ^{\frac{2}{3}} + x ^{\frac{1}{3}} + 1} d x