интеграл от (sinh(x))/(cosh^3(x))

Решение

\int \frac{sinh ( x )}{cosh ^{3} ( x )} d x

- \frac{1}{2} sech^{2} (x) + C

Шаги решения

\int \frac{sinh ( x )}{cosh ^{3} ( x )} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{tanh ( x )}{cosh ^{2} ( x )} d x

Используйте гиперболическое тождество:

\frac{1}{cosh ( x )} = sech (x)

= \int sech^{2} (x) tanh (x) d x

Применить подстановку интеграла

= \int - \frac{1}{2} d u

Интеграл константы:

\int a d x = a x

= (- \frac{1}{2}) u

Делаем обратную замену

u = sech^{2} (x)

= (- \frac{1}{2}) sech^{2} (x)

После упрощения получаем

= - \frac{1}{2} sech^{2} (x)

Добавить константу к решению

= - \frac{1}{2} sech^{2} (x) + C