integral of sqrt(225-9x^2)

Lösung

\int 225 - 9 x^{2} d x

\frac{75}{4} (2 arcsin (\frac{x}{5}) + sin (2 arcsin (\frac{x}{5}))) + C

Schritte zur Lösung

\int 225 - 9 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 75 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 75 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 75 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 75 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 75 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 75 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{3}{15} x)

ein

= 75 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{3}{15} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{3}{15} x)))

Vereinfache

75 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{3}{15} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{3}{15} x))) : \frac{75}{4} (2 arcsin (\frac{x}{5}) + sin (2 arcsin (\frac{x}{5})))

= \frac{75}{4} (2 arcsin (\frac{x}{5}) + sin (2 arcsin (\frac{x}{5})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{75}{4} (2 arcsin (\frac{x}{5}) + sin (2 arcsin (\frac{x}{5}))) + C

\int e^{- 4 x} + x + (4 x + 1) d x

\int sin^{6} (3 x) cos^{2} (3 x) d x

\int x e^{4} d x

\int e^{3 x^{2}} \cdot x^{3} d x

\int \frac{1}{x ^{3} \cdot x ^{2} - 9} d x