integral of ((x^2)/(sqrt(16-x^2)))

Lösung

\int (\frac{x ^{2}}{16 - x ^{2}}) d x

8 (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{16 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 16 sin^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 16 \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 16 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 16 \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{4} x)

ein

= 16 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x)))

Vereinfache

16 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x))) : 8 (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x)))

= 8 (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 8 (arcsin (\frac{1}{4} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{4} x))) + C

\int \frac{8 sin ( 2 x )}{1 + cos ^{4} ( x )} d x

\int x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 0.25 d x

\int \frac{4}{x 9 + ( ln ( x ) ) ^{2}} d x

\int \frac{x}{25 + x} d x

\int \frac{( x + 3 )}{3 x ^{2} + 6 x} d x